A Braquistócrona e o desenvolvimento da Ciência

Uma pergunta que muitos matemáticos e físicos escutam sobre suas pesquisas é: pra quê serve isso? Acredito que o significado desta pergunta está intimamente ligado ao fato do que é a ciência e como ela se desenvolve. Muitas vezes, um trabalho puramente teórico é o passo inicial para o desenvolvimento de toda uma área com diversas aplicações. Já comentei um pouco sobre essa ideia quando falei, em um post anterior, da relação entre relatividade geral, buracos negros e GPS. Mas conceitos mais fundamentais foram desenvolvidos de ideias simples e sem uma motivação clara por trás delas.

Um exemplo disso é o cálculo de variações. Esta área da matemática é de grande importância e aplicabilidade.  o uso desta teoria para tratar problemas de otimização, como a rede de distribuição de energia de um país. Esta, produz uma quantidade limitada de energia elétrica que precisa ser distribuída para a população mas por outro lado existem serviços especias (hospitais, polícia, bares) que tem prioridade se faltar energia para todos. O problema é como manter funcionando uma rede elétrica que leve energia à população da forma mais eficiente ao mesmo tempo em que garante tais serviços essenciais. Outro exemplo é a utilização desta ferramenta na área de Biomatemática no estudo da dinâmica de populações, quando o objeto de estudo é a estrutura de formação de moléculas complexas, entre muitos outros casos.

O interessante é pensar que esta área foi desenvolvida a partir do chamado ‘problema da Braquistócrona’. Este problema apareceu em junho de 1669, na revista alemã de matemática Acta Eruditorium, fundada por Leibniz. Naquela época, era comum matemáticos proporem desafios desta forma e o matemático suíço Johann Bernoulli propôs o seguinte:

Dados dois pontos A e B em um plano vertical, qual a curva traçada de um ponto ao outro tal que uma partícula sob ação apenas da gravidade se desloque no menor intervalo de tempo?

Foram propostas soluções para o problema por Newton, Jacob Bernoulli, Leibniz e L’Hôpital, publicadas na Acta Eruditorium posteriormente. A curva procurada é chamada cicloide, nome dado por Galileu, que estudou suas propriedades em 1600. A cicloide é uma curva definida por um ponto em uma circunferência rolando sem deslizar por uma reta.

A curva cicloide

A resolução de Bernoulli era baseada no princípio de Fermat. Ele diz que quando a luz se propaga entre dois pontos, ela escolhe o trajeto que vai ter a menor duração; e, no fenômeno de refração, diz que a luz ao se propagar por meios distintos muda sua direção. Com isso, Bernoulli dividiu o problema em ‘fatias’ e as tratou como a luz passando de um meio para o outro. Fazendo os cálculos, ele obteve uma equação que descrevia a curva cicloide. O esquema da solução proposta por ele pode ser visto abaixo:

A solução proposta por Bernoulli

O método desenvolvido por Bernoulli era eficiente em problemas de otimização e foi estudado e aperfeiçoado por Euler em 1744. Os problemas foram ficando cada vez mais complicados para serem resolvidos com a equação de Euler e, em 1762 e 1770, Lagrange publicou um trabalho em que desenvolveu um método analítico para obter a curva em um problema de otimização baseado em variações de funções. E foi aí que surgiu o cálculo variacional como é conhecido hoje.

O problema da braquistócrona. A linha azul representa a cicloide, onde observarmos que a partícula sempre chegará antes em comparação com outras curvas.

Em resumo, o problema da braquistócrona consiste em obter a curva que minimiza o tempo que uma partícula, sob a ação da gravidade, leva para ir de A até B. A solução é a curva chamada cicloide, que é gerada por uma circunferência rolando sem deslizar. Inicialmente, o problema foi tratado de forma geométrica usando princípios básicos da óptica, mas foi muito importante para o estudo de problemas de otimização e desenvolvimento de ferramentas poderosas como o cálculo variacional. E isso mostra que a ciência é feita de pequenos passos e da colaboração e trabalho de diversas pessoas. A aplicação não é imediata porque o que se busca é o conhecimento por si só. O entendimento da natureza e seus fenômenos é mais do que o suficiente pra responder o “pra quê serve isso?”


Referências:

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